极限与双阶乘

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双阶乘的定义 ​

$n!!=\displaystyle\prod^{[\frac{n}{2}]-1}_{k=0}(n-2k)$

当n为偶数时 $n!!=\displaystyle\prod^{\frac{n}{2}}_{k=1}(2k)=n*(n-2)*\dotsi*4*2$
当n为奇数时 $n!!=\displaystyle\prod^{\frac{n+1}{2}}_{k=1}(2k-1)=n*(n-2)*\dotsi*3*1$

其实我们可以用我们学过的阶乘表示

当n为偶数时 $n!!=\frac{n!}{\sqrt{2^{n-1}}(\frac{n-1}{2})!}$
当n为奇数时 $n!!=\frac{n!}{\sqrt{2^n}(\frac{n}{2})!}$

极限与双阶乘 ​

我们有一道题，题目如下
证明 $\lim\limits_{n\to\infin}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=0$

我们令 $x_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{1*3*\dotsi*(2n-1)}{2*4*\dotsi*(2n)}$
$y_n=\frac{2*4*\dotsi*(2n)}{3*5*\dotsi*(2n+1)}$
则由糖水不等式有 $x_n<y_n$
即 $x_n^2<x_n*y_n=\frac{1}{2n+1}$
$\therefore0<x_n<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$
$\because\lim\limits_{n\to\infin}\frac{1}{\sqrt{2n+1}}=0$
由夹逼定理得 $\lim\limits_{n\to\infin}x_n=0$

拓展 ​

求 $\lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}$

令 $x_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=1*\frac{3}{2}*\frac{5}{4}*\dotsi*\frac{2n-1}{2n-2}*\frac{1}{2n}$
$\because1*\frac{3}{2}*\frac{5}{4}*\dotsi*\frac{2n-1}{2n-2}>1$
$\therefore\frac{1}{2n}<x_n<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$
$\therefore\frac{1}{\sqrt[n]{2n}}<\sqrt[n]{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}<\frac{1}{\sqrt[2n]{2n+1}}$
$\because\lim\limits_{n\to\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1$
$\therefore\lim\limits_{n\to\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{2n}}=1,\lim\limits_{n\to\infin}\frac{1}{\sqrt[2n]{2n+1}}=1$
由夹逼定理得 $\lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}=1$

下证 $\lim\limits_{n\to\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1$
$\lim\limits_{n\to\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\lim\limits_{n\to\infin}n^{-\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infin}e^{-\frac{\ln n}{n}}$
由洛必达法则得 $\lim\limits_{n\to\infin}\frac{\ln n}{n}=\lim\limits_{n\to\infin}\frac{1}{n}=0$
$\therefore\lim\limits_{n\to\infin}e^{-\frac{\ln n}{n}}=e^0=1$

即证毕.