记录一次数学考试题目

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题目 ​

1. 已知方程 $e^y + 6xy + x^2 - 1 = 0$ , 求 $y''(0)$, 其中 $y = f(x)$
2. 已知函数 $f(x, y) = \begin{cases} x + y + \frac{x^3 y}{x^4 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0 & (x, y) = (0, 0). \end{cases}$ , 求 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处沿方向 $(1, 1)$ 的方向导数
3. 求由方程 $\left( x^2 + y^2 \right)^2 = y^2 - x^2$ 在平面上围成的区域的面积
4. 给定数列 ${ a_n }$ 满足 $a_1 = 1$ 且 $a_{n+1} = \frac{1}{1 + a_n}$ , 求 $\lim\limits_{n \to \infin} a_n$
5. 求以下无穷级数的和 $S = \displaystyle\sum_{ n=1 }^{ \infin } \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n + 1} \right)$
6. 已知函数 $f(u, v)$ 的一阶偏导数连续，且满足偏微分方程 $\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{ \partial f}{\partial v} = u v$ , 求 $y = e^-2x f(x, x)$ 的一阶微分方程，并求方程的通解
7. 设 $(x, y, z)$ 为曲面 $\Sigma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 上的任意一点，且 $f(x, y, z)$ 表示原点到该点的距离，求 $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) dS$
8. 在区间 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 内讨论 $\tan(\sin(x))$ 和 $\sin(\tan(x))$ 的大小关系